数列で漸化式を解くときに特性方程式と呼ばれる方程式を解くことがあります。an+1もanもαと置いてしまうという乱暴な計算にみえるのですが、私が高校生のときに使っていた参考書にはその成り立ちがかいてなかったので大変不思議でした。
an+1もanも全く違う数字なのになぜαと置いていいのか･･･
今ではしっかり理解しているのですが、数学というのは初学者ほどこういう便利なテクニックの表面的なところだけ覚えてその成り立ちを理解するという手間を省く傾向があるように見えます（たいていそれで数学につまずく）。二次方程式の判別式は、正なら２つの異なる実数解をもつといいますが、なぜ判別式はb^2-4acなのか、理解している生徒はそんなに多くありません。
数列の話題でいえば、階差数列の公式でシグマの計算がk=1からn-1までとなっていますが、なぜn-1までなのか。
数学は計算が主体の暗記科目であると私は認識していますが、数学のなかにはおさえておけば暗記量が減り、かつ難問に対応できるような考え方があります。判別式の意味、階差数列の仕組み、特性方程式の仕組み、三角関数の公式、積分の意味（微分の逆じゃなく）など･･･こういう点は授業中に強調しています。
ちなみに漸化式の「漸化」がどういう意味か今日まで理解していなかったので、授業ついでに辞書をしらべて引いて生徒に配っておきました。そういう意味だったのね。
